Cálculo Diferenciual de Integral:  um KIT de sobrevivência [Maple Bitmap]

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Prof. Doherty Andrade

Séries de Farey

   Dado um natural N   a seqüência de Farey, também denominada de série de Farey de orden  N  , denotada por F[N]  , é a sequência de todas as frações irredutíveis entre 0 e 1(inclusive 0 e 1) com denominador não excedendo   N , ordenadas de modo crescente. Mais precisamente,   F[N]   é a seqüência de todas as frações irredutíveis   p/q ,  maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1, ordenadas de modo crescente .

Pode-se provar que    F[N]   contém todos os termos de   F[N-1] . Existem diversos métodos para construir a sequência   p/q , por exemplo a árvore de Stern-Brocot.

Utilizando Maple, pode-se gerar facilmente a sequência. Veja o código abaixo.

Uma maneira fácil de obter a sequência de Farey de ordem N,   F[N] , é utilizar o seguinte procedimento:
1º.  Passo: iniciamos com as frações
0/1   e   1/1 ;
2º. Passo: Se   
i/j    e    k/m   são frações de   F[N]  , então   (i+k)/(j+m)  também é fração de F[N]  ;
3º. Passo:  efetuamos o passo 2 enquanto
j+m  menor do que ou igual a N  .

Pode-se provar que todos os elementos de   F[N]    são gerados pelo procedimento acima.

Apresentamos a seguir uma função que gera todas as frações que compõem a sequência de Farey F[N] .

As chaves são importantes para eliminar as repetições.

>    F:=n->{seq(seq(i/j,i=0..j),j=1..n)};

F := n -> {seq(seq(i/j,i = 0 .. j),j = 1 .. n)}

>    F(5);

{0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 2/5, 3/4, 3/5, 4/5}

>    F(7);

{0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 2/3, 2/5, 2/7, 3/4, 3/5, 3/7, 4/5, 4/7, 5/6, 5/7, 6/7}

>   

As séries de Farey estão relacionadas a diversos resultados da teoria dos números, à geometria (teorema de Pick) e em particular às equações diofantinas.

A resolução de muitos problemas de aritmética depende da resolução de equações do tipo   Estas equações pertencem a um tipo de equação chamada Diofantinas,

em homenagem a Diofantus de Alexandria (?-250 DC) que escreveu uma importante obra entitulada "Arithmetica" onde tratou destas e outras equações e suas soluções inteiras .

Bibliografia

[1] Hardy, G.H. & Wright, E.M. (1979) An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth Edition). Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0.

[2] Norman Routledge, "Computing Farey Series," The Mathematical Gazette, Vol. 29 (No. 523), 55-62 (March 2008).

[3]  Andrade, D. , A Formula de Pick, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, Vol. 9  No. (1988) 119-126.

[4] Varberg, D.E. Pick's Theorem Revisited. The Am Math Monthly v 92 (1985), pp 584-587.

[5]  Andrade, D., Teorema de Pick. Disponível em htttp://www.dma.uem.br/kit/pick.html.

Comentários e sugestões: doherty@uem.br