A FÓRMULA DE PICK COMPUTACIONAL


Doherty Andrade

Sandro Marcos Guzzo

W. T. Zenon

I. Introdução

O cálculo de áreas de figuras planas desempenha um papel fundamental nos mais diversos ramos da Matemática e em muitas aplicações a outros ramos do conhecimento. Desde muito cedo o estudante se depara com o conceito e o cálculo de áreas e no laboratório o pesquisador ainda tem necessidade de calcular áreas. A fórmula de Pick é um teorema do final do século passado e dá um critério interessante para o cálculo de área de polígonos com vértices sobre uma malha. Veja e simule na applet abaixo.

Antes de passarmos para o enunciado do teorema vejamos alguns conceitos: cada ponto de interseção de retas da malha é chamado de nó e cada pequeno quadrado é chamado célula e cada célula possui uma unidade de área. Veja figura 1.

Figura 1

Dado um polígono com vértices sobre os nós de uma malha, a fórmula de Pick nos fornece a área do polígono sabendo apenas quantos são os nós da malha sobre o bordo do polígono, b, e quantos são os nós da malha interiores ao polígono, i. Mais exatamente, a sua área é dada por

Na figura 2, temos i=22 e b=16 e portanto a área da figura é 29 unidades de área.
 
 

Figura 2


A forma geral para a fórmula de Pick pode ser enunciada como abaixo.
 
 

Teorema (Pick): Seja S reunião finita de regiões poligonais com vértices sobre os nós de uma malha. Se v denota o número total de nós da malha em S e, eb é o número de lados do bordo de S (aqui consideramos que dois nós consecutivos do bordo formam um lado), então a área de S é dada por

onde c = 1 - m é a característica de Euler de S e m é o número de buracos de S.
 

Veja a figura 3, nela a figura da direita tem v=15,c = 1 e eb =12, o que dá 8 unidades de área. Na figura da esquerda temos v = 35,c = -1 e eb =30 dando 21 unidades de área.


 

Figura 3


Uma prova deste teorema pode ser encontrada em [2].

II. O programa Pick e Aplicações

Com base na fórmula de Pick e no estudo de suas aplicações, elaboramos um programa em linguagem Pascal, cuja função é apresentar uma malha para o usuário demarcar o polígono. Feito isto o programa identifica quantos e quais são os pontos interiores e os pontos do bordo e calcula a área do polígono utilizando a fórmula de Pick. Usamos resultados avançados de topologia diferencial de [1] para decidir se um ponto é ou não interior ao polígono. O programa pode ser manipulado pelo mouse ou pelo teclado e oferece algumas opções tais como: salvar o polígono desenhado, alterar o tamanho da célula da malha ou simplesmente traçar polígonos ou ainda esperar que o usuário calcule a área de um polígono apresentado.
 
 

O teorema de Pick pode ser utilizado para dar uma aproximação da área de uma figura plana não necessariamente poligonal em associação ou não com a noção de escala ampliando as aplicações do mesmo. É claro que neste caso a aproximação é tão boa quanto menor for a célula da malha. Veja a figura 4, ela mostra o contorno de uma região infectada numa cobaia e diariamente estamos interessados em determinar a área da lesão ainda não cicatrizada para determinar a velocidade de cicatrização. Isto permitirá determinar a melhor droga entre outras em testes. Este é um exemplo de aplicação: a região foi fotografada, levada para o computador via scanner, salva em formato BMP e sem seguida o programa Pick traça a malha escolhida para podermos

Figura 4


aproximar por um polígono com vértices sobre a malha. Uma vez traçado o polígono o programa Pick determina uma aproximação para a área da lesão.

O programa Pick foi desenvolvido no Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá por Doherty Andrade e Sandro Marcos Guzzo e está em constante atualização, as pessoas interessadas em obter uma cópia podem nos enviar correspondência com diskete pequeno de alta densidade que o mesmo será devolvido com as instruções e o programa, ou via ftp.
 
 
 
 

III. A applet abaixo ilustra o teorema de Pick

Esta Applet é devido a  W. T. Zenon
 

IV. Bibliografia
 
 

[1] GUILLEMIN, Victor, & POLLACK, Alan. Differential Topology, Prentice - Hall, Inc. New Jersey, 1974.

[2] HADWIGER, H. & WILLS, J. M. Neure Studien über Gitterpolygone, J. Math, 280 (1975) 61-69.

[3] Andrade, D. A Formula de Pick, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, Vol. 9 No. (1988) 119-126.

[4] Andrade, D. Geometria Plana: Construções Geométricas. CENP/SP-UNESP, 1985.

Email: doherty@uem.br