[Maple OLE 2.0 Object]

Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de sobrevivência

This woksheet is in Portuguese language.

Prof. Doherty Andrade

Regiões de Integração

Este pacote desenha a região de integração de integrais múltiplas.

Ver no KIT , na parte de integração, há um manual para os procedimentos.

Antes de iniciar esta seção, você deve executar o arquivo integrais.exe. Pegue este arquivo em www.dma.uem.br/kit/integrais.exe. Ele contém os procedimentos gráficos necessários para plotar as regiões de integração nos diversos sistemas de coordenadas.

Vamos usar o pacote de integrais do KIT para estudar integrais múltiplas.

Este pacote foi especialmente desenvolvido para plotar as regiões de integração em coordenadas esféricas, cilindricas, retangulares e polares.

> restart:

Vamos carregar o pacote de integrais do KIT .

> libname:=`c:\\kit`,libname;

[Maple Math]

> with(kit);

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

Exemplos de regiões no plano

Exemplos:

1--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x^2..x+1,x=0..1,title=`1`);

[Maple Plot]

2--Desenhar a região de integração da integral dupla

[Maple Math]

> dxdyplot(x=0..sqrt(y),y=0..1, title=`2`);

[Maple Plot]

3--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x^2..1,x=0..1, title=`3`);

[Maple Plot]

4--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=sqrt(x)..2,x=0..4,title=`4`);

[Maple Plot]

5--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=0..2*x+1,x=0..1,view=[-1..2,0..4], title=`regiao trapezoidal 5 `);

[Maple Plot]

6--Desenhar a região de integração da integral dupla

[Maple Math]

> dxdyplot(x=1/y..y,y=1..2, title=`6`);

[Maple Plot]

7--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x/2..2*x,x=0..Pi,view=[-1..4,0..7], title=`7`);

[Maple Plot]

8--Desenhar a região de integração da integral dupla

[Maple Math]

> dydxplot(y=x^2..2*x,x=0..2,view=[-1..2,0..4], title=`8`);

[Maple Plot]

> dydxplot(y=0..sqrt(x),x=0..9, title=`9`);

[Maple Plot]

> dydxplot(y=sqrt(x)..x^2,x=1..2,view=[-1..3,0..4],title=`10`);

[Maple Plot]

> dydxplot(y=x^3..-x^2+2*x,x=-2..1, view=[-2..1,-8..1], title=`222 -11`);

[Maple Plot]

Tipos de Regiões no Plano

1- Integrias duplas em coordenadas retangulares: Exemplos

1--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x^2..x+1,x=0..1,title=`Região do Tipo I`);

[Maple Plot]

2--Desenhar a região de integração da integral dupla

[Maple Math]

> dxdyplot(x=0..sqrt(y),y=0..1, title=`Região do Tipo II`);

[Maple Plot]

3--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x^2..1,x=0..1, title=`Região do Tipo I`);

[Maple Plot]

4--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=sqrt(x)..2,x=0..4,title=`Região do Tipo I`);

[Maple Plot]

5--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=0..2*x+1,x=0..1,view=[-1..2,0..3], title=`regiao trapezoidal `);

[Maple Plot]

6--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dxdyplot(x=y..1/y,y=1..2, title=`Região do Tipo II`);

[Maple Plot]

7--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x/2..2*x,x=0..Pi,view=[-1..4,0..7], title=`7`);

[Maple Plot]

8--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x^2..2*x,x=0..2,view=[-1..2,0..4], title=`8`);

[Maple Plot]

9--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=0..sqrt(x),x=0..9,view=[0..9,0..3], title=`9`);

[Maple Plot]

10--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=sqrt(x)..x^2,x=1..2,view=[-1..3,0..4],title=`10`);

[Maple Plot]

11--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=x^3..-x^2+2*x,x=-2..1, view=[-2..2,-8..2], title=`livro p114`);

[Maple Plot]

12--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dydxplot(y=sin(x)..cos(x),x=0..Pi/4, title=`livro p119`);

[Maple Plot]

13--Desenhar a região de integração da integral dupla [Maple Math]

> dxdyplot(x=-y^2...y^2,y=0..1, title=`livro p118`);

[Maple Plot]

14-- Desenhe a região de integração [Maple Math]

> dydxplot(y=2*x^2-1..x^2,x=-1..1, title=`livro p114,exe14`);

[Maple Plot]

2. Integrias duplas em coordenadas polares: Exemplos

1) Desenhar a região de integração [Maple Math]

> drdtplot(r=0..2*(1+cos(theta)),theta=0..2*Pi);

[Maple Plot]

2) Desenhar a região de integração [Maple Math]

> dtdrplot(theta=0..r,r=Pi/2..Pi);

[Maple Plot]

3) Desenhar a região de integração [Maple Math]

> drdtplot(r=sin(3*theta)..sin(theta),theta=Pi/4..Pi/3);

[Maple Plot]

4) Desenhar a região de integração [Maple Math]

> drdtplot(r=1..3+(sin(theta))^2,theta=0..Pi/2);

[Maple Plot]

5) Desenhar a região de integração [Maple Math]

> drdtplot( r=0..2*cos(theta), theta = -Pi/2 .. Pi/2 );

[Maple Plot]

Integrais duplas: invertendo a ordem de integração

Coordenadas esféricas

Neste sistema temos

[Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] .

[Maple OLE 2.0 Object]

Nesta seção vamos usar os procedimentos do KIT para plotar as seis diferentes regiões de integação tripla expressas em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são [Maple Math] (raio), [Maple Math] (angulo longitudinal; i.e., ângulo feito por (x,y,0) e eixo x), e [Maple Math] (ângulo latitudinal; i.e.,ângulo feito por (x,y,z) e o eixo positivo de z).


Este procedimento plota a fronteira da região no espaço quando descrita em coordendas esféricas ( [Maple Math] ), determinada pelas desigualdades
[Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] ,

Isto é, [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math]

e [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math]

e [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math] .

Sintaxe: dpdtdphiplot( [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] ,opts)

Exemplos # dpdtdphiplot

Este procedimento plota as seis regiões de integração expressas em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são [Maple Math] (raio), [Maple Math] (angulo longitudinal; i.e., ângulo feito por (x,y,0) e eixo x), e [Maple Math] (ângulo latitudinal; i.e.,ângulo feito por (x,y,z) e o eixo positivo de z).


Este procedimento plota a fronteira da região no espaço quando descrita em coordendas esféricas ( [Maple Math] ), determinada pelas desigualdades
[Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] ,

Isto é, [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math]

e [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math]

e [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math] .

Sintaxe: dpdtdphiplot( [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] ,opts)

Os cinco procedimentos análogos são:

dpdphidtplot,

dtdpdphiplot,

dtdphidpplot,

dphidtdpplot,

dphidpdtplot,

todos com sintaxes análogas .

> dpdphidtplot(rho=0..2,phi=0..Pi/4,theta=0..2*Pi, title=`exemplo`);

[Maple Plot]

> P1:=dpdtdphiplot(rho=sec(phi)..2/(cos(phi)+sin(phi)),theta=0..2*Pi,phi=0..Pi/4):

> P2:=dpdtdphiplot(rho=0..cot(phi)*csc(phi),theta=0..2*Pi,phi=Pi/4..Pi/2):

> plots[display3d]({P1,P2},style=wireframe,title= `exemplo`);

[Maple Plot]

> dpdphidtplot(rho=0..2*cos(phi),phi=0..Pi/4,theta=0..2*Pi, title= `18.7-5`);

[Maple Plot]

> dphidpdtplot(phi=0..Pi/3,rho=0..1,theta=0..2*Pi);

[Maple Plot]

> dphidpdtplot(phi=0..Pi/2,rho=0..1,theta=0..Pi/2,title= `esfera no primeiro octante`);

[Maple Plot]

> dpdphidtplot(rho=0..2*cos(phi),phi=0..Pi/6,theta=0..2*Pi, title=`cone de sorvete`);

[Maple Plot]

>

Coordenadas cilindricas

Neste sistema temos:

[Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] .

O Jacobiano da mudança de coordenadas é r.

[Maple OLE 2.0 Object]

Nesta seção vamos usar os procedimentos do KIT para plotar as seis diferentes regiões de integação tripla expressas em coordendas cilíndricas ( [Maple Math] ).

Sintaxe: [Maple Math] .

Este procedimento plota a fronteira da região no espaço, quando descrita em coordenadas cilíndricas:

[Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math]

Região entre os gráficos de [Maple Math] e [Maple Math] e sobre a região descrita quando [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math] e [Maple Math] varia entre a e b .

Este procedimento plota a fronteira da região no espaço, quando descrita em coordenadas cilíndricas:

[Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math]

Região entre os gráficos de [Maple Math] e [Maple Math] e sobre a região descrita quando [Maple Math] varia entre [Maple Math] e [Maple Math] e [Maple Math] varia entre a e b .

Os cinco procedimentos análogos são:dzdtdrplot,

drdzdtplot,

drdzdtplot,

dtdrdzplot,

dtdzdrplot,

todos com sintaxes análogas.

Exemplos

##Exemplos ## drdtdzplot e dzdtdrplot

> drdtdzplot(r = 2..3, theta = Pi/4..Pi/2,z = 0..1);

[Maple Plot]

> dzdtdrplot(z = r^2..2+r*cos(theta), theta=0..2*Pi, r = 0..1);

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z=0..(1-r^2)^(0.5),r=0..cos(theta),theta=0..Pi, grid=[40,15]);

[Maple Plot]

> dzdtdrplot(z=-(1-r^2*cos(theta)^2)..(1-r^2*cos(theta)^2),theta=0..2*Pi,r=0..1);

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z=0..sqrt(4-r^2),r=0..1+cos(theta),theta=0..2*Pi);

[Maple Plot]

> p1:=dzdrdtplot(z=0..sqrt(1-r^2),r=0..1,theta=-Pi/2..Pi/2):

> p2:=dzdrdtplot(z=0..sqrt(1-r^2),r=0..1+cos(theta),theta=Pi/2..3*Pi/2):

> plots[display3d]({p1,p2});

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z = 0..r*sin(theta),r=2*sin(theta)..2*cos(theta),theta= 0..Pi/4,title=`regiao do 18.7-2`);

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z = 0..1,r=2..4,theta= 0..Pi, title=`regiao do 18.7-3`);

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z = 0..r*cos(theta),r=0..1,theta= 0..Pi/2, title=`regiao do 18.7-9`);

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z = 8..12-r^2,r=0..sqrt(12),theta= 0..2*Pi, title=`regiao do 18.7-11`);

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z =10*r^2*cos(r^2)..sqrt(4-10*sin(cos(r^2))),r=0..2,theta= 0..2*Pi, title=`outra regiao- logotipo`);

[Maple Plot]

> dzdrdtplot(z =-sqrt(25-r^2)..sqrt(25-r^2),r=0..4,theta= 0..2*Pi, title=`esfera inters cilin.`);

[Maple Plot]

Coordenadas retangulares

Nesta seção vamos usar os procedimentos do KIT para plotar os seis tipos de regiões de integração em integral tripla para dominios dados em coordenadas retangulares.


Este procedimento plota a fronteira da região no espaço, quando descrita em coordenadas retangulares, entre os gráficos de [Maple Math] e [Maple Math] e sobre a região onde y varia de [Maple Math] a [Maple Math] e [Maple Math] varia de [Maple Math] até [Maple Math] .

Sintaxe:

dzdydxplot(z=f(x,y)..g(x,y),y=h(x)..k(x),x=a..b,opts);

Este procedimento plota a fronteira da região no espaço, quando descrita em coordenadas retangulares, entre os gráficos de [Maple Math] e [Maple Math] e sobre a região onde y varia de [Maple Math] a [Maple Math] e [Maple Math] varia de [Maple Math] até [Maple Math] .

Os cinco procedimentos análogos são: dzdxdyplot,

dxdzdyplot,

dydzdxplot,

dxdydzplot,

dydxdzplot,

todos com sintaxes análogas.

Exemplos

> dzdydxplot(z=0..x^2+y^2,y=cos(x/Pi)..x,x=0..1/2,title=`exemplo facil`);

[Maple Plot]

> dydzdxplot(y=0..x^2+z^2,z=-x..x,x=0..1,title=`mais um exemplo facil`);

[Maple Plot]

> dxdydzplot(x=y^2..8-y^2,y=0..z^2,z=0..1,title=`outro exemplo`);

[Maple Plot]

> dzdydxplot(z=-sqrt(4-x^2)..sqrt(4-x^2),y=-sqrt(4-x^2)..sqrt(4-x^2),x=-2..2,title=`inters. de x^2+y^2=2 e x^2+z^2=2 (cilindros)` );

[Maple Plot]

> dzdydxplot(z=0..sqrt((4-x^2)^2-(y-4)^2),y=x^2..8-x^2,x=-2..2,title=` seccoes Semi-circular (quase)` );

[Maple Plot]

> p1:=dzdydxplot(z=0..1+x^2+y^2,y=0..2-2*x,x=0..1,title=`um exemplo Leigthold` ):

> p2:=dzdydxplot(z=-1..0,y=0..2-2*x,x=0..1,title=`um exemplo Leigthold` ):

> plots[display3d](p1,p2);

[Maple Plot]

Coordenadas polares

Exemplos

Exemplos de drdtplot e de dtdrplot

> drdtplot(r=1..1+cos(theta),theta=-Pi/2..Pi/2);

[Maple Plot]

> dtdrplot(theta=0..r,r=Pi/2..Pi);

[Maple Plot]

> plots[display]({drdtplot(r=sin(3*theta)..sin(theta),theta=Pi/4..Pi/3), drdtplot(r=0..sin(theta),theta=Pi/3..Pi/2)}, scaling=constrained, title=` region entre r=sin(3*theta) e r=sin(theta)`);

[Maple Plot]

> p1:=drdtplot(r=1..3+(sin(theta))^2,theta=0..Pi/2):

> p2:=drdtplot(r=1..3,theta=0..Pi/2):

> plots[display]({p1,p2},title=` as regoes acima`);

[Maple Plot]

> plots[display]({drdtplot(r=1..3+(sin(theta))^2,theta=0..Pi/2), drdtplot(r=1..3,theta=0..Pi/2)}, scaling=constrained, title=` region entre as regioes`);

[Maple Plot]

> drdtplot( r=0..2*cos(theta), theta = -Pi/2 .. Pi/2 );

[Maple Plot]