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Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de sobrevivência

This woksheet is in Portuguese language.

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM

Nesta worksheet vamos falar um pouco sobre séries de potências. Vamos ver um método de decidir a sua convergência e determinar o seu intervalo de convergência.

Introdução

Somatória: notação Sigma

Para inteiros e reais , , ..., , escrevemos a soma

Teorema 1 : Seja c uma constante (não dependendo de i). então:

OBS : O teorema acima não vale quando a soma é infinita (série). Neste caso é preciso estudar a convergência das séries.

A convergência de séries numéricas é uma questão delicada. Por exemplo,

a série

não converge (sua soma é infinita). Já a série também diverge, mas por outra razão: ela não tende para valor algum.

> restart:

Veja 6 somas e os seus resultados.

> [Sum(1, i=1..n), Sum(c, i=1..n), Sum(i, i=1..n),
Sum(i^2, i=1..n), Sum(i^3, i=1..n), Sum(i^4, i=1..n)];

> factor(simplify(value(")));

> Sum(1/(i+1), i=1..6) =
`1`/`2` + `1`/`3` + `1`/`4` + `1`/`5` + `1`/`6` + `1`/`7`;

> Sum(j^2, j=n..n+3): " = value(");

Exercicios

1- Escreva na notação sigma :

2- Encontre o valor da soma

> Sum(3^(j+1), j=1..6): " = value(");

3- Encontre o valor da soma

> Sum(4, i=1..100) = 4*Sum(1, i=1..100); lhs(") = value(rhs("));

4 - Encontre o valor da soma

> Sum(i^3 - i - 2, i=1..n):" = simplify(value("));

5--Soma telescópica

> Sum(1/i - 1/(i+1), i=3..99)= `(1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + (1/5 -
1/6)` + `.`.`..`+ `(1/98 - 1/99) + (1/99 - 1/100)`;

> Sum(1/i - 1/(i+1), i=3..99): "= value(");

via maple

> Sum(1/i - 1/(i+1), i=3..99): " = value(");

6-- Encontre o limite

> Sum(2/n * ( (2*i/n)^3 + 5*(2*i/n) ), i=1..n): " = expand(value("));

> map(Limit, ", n=infinity); Lim_limite:=value(rhs("));

> unassign('a', 'i', 'r');

> Sum(a*r^(i-1), i=1..n): " = simplify(value("));

7-- Calcular na mão

8--Escreva a soma de Riemann na notação sigma

> Sum(f(x[i])*Delta*x[i], i=1..n) = f(x[1])*Delta*x[1] +
f(x[2])*Delta*x[2] + `.`.`..`+ f(x[n])*Delta*x[n];

> Sum(3/2^(i-1), i=1..n): " = simplify(value("));

> equivalently:=6*(1-(1/2)^n);

9-- Soma dupla

> Sum(Sum(i+j, j=1..n), i=1..m): " = factor(simplify(value(")));

Séries de Potências

Uma série de potências é uma expressão da forma:

Como exemplo simples, tomemos a seguinte série

Note que seus termos formam uma progressão geométrica. Assim, fica fácil determinar o valor da sua soma.

Ou seja,

( * )

Esta série converge quando pertence ao intervalo [-1,1).

Note que podemos usar esta série para determinar a soma de outras. Vejamos um exemplo:

Tomando , e usando (*) obtemos que a série vale

Note que a série também pode ser calculada usando a igualdade (*) , para isto basta tomar no lugar de para obter

Vejamos algumas séries importantes;

> Sum((x^n)/(n!), n=0..infinity):" = simplify(value("));

> Sum((-x)^n, n=0..infinity):" = simplify(value("));

> Sum((-1)^(n)*(x)^(2*n+1)/(2*n+1)!, n=0..infinity):" = simplify(value("));

> Sum((-1)^(n)*(x)^(2*n)/(2*n)!, n=0..infinity):" = simplify(value("));

> Sum((-1)^(n+1)*(x)^(n)/(n), n=1..infinity):" = simplify(value("));

Uma aproximação para

Para este exemplo vamos operar formalmente com as séries, não se preocupando com as convergências.

Como

e como

então temos que

Para o casoparticular de x=1, temos que . Assim, temos

Convergência de séries de potência

No caso de séries numéricas alguns resultados são importantes e úteis para o estudo das séries de potências:

Teste de D'Alembert ou da razão : seja uma série numérica. Se

então a série numérica converge absolutamente.

Teste de Cauchy ou da raiz : seja uma série numérica. Se

então a série numérica converge absolutamente.

Dada uma série de potências

pode acontecer um dos seguintes fatos:

1) a série converge absolutamente para todo real.

2) a série converge apenas quando

3) existe um R>0 tal que a série converge absolutamente se |x|<R e diverge se |x|>R.

Ao número R chamamos de raio de convergência da série da série de potências.

Em 1) o raio R é infinito. Em 2) o raio é R=0 .

Como determinar o raio de convergência?

Façamos um exemplo. A série tem termo genérico dado por

Calculemos o limite quando n tende ao infinito de

Neste caso o limite é . Deve ser menor do que 1, para a série convergir (veja o teste da razão ou o teste da raiz). Isto ocorre desde que |x| <3. Segue que R=3.

A série

tem raio de convergência

Verifique isto.

Há ainda outra forma de determinarmos o raio de convergência:

Tomemos o limite, quando n tende ao infinito do coeficiente do termo geral da série, L=

então o raio de convergência é

No exemplo anterior devemos calcular o seguinte limite

> restart:

> Limit(abs((-2)^n/((2*n)!))^(1/n),n=infinity):"= 2*limit( 1/((2*n)!)^(1/n),n=infinity);

Segue que o raio de convergencia da série é .

Agora voltemos ao nosso primeiro exemplo:

> Limit(abs(1/(n*3^n))^(1/n),n=infinity):" = (1/3)*limit( 1/(n)^(1/n),n=infinity);

Segue que o raio de convergencia é R=3.

Note que para cada no intervalo de convergência, a série determina uma função. Neste caso dizemos que a função é representada por uma série de potências.

Propriedades das séries de potências

Derivação termo a termo: dada uma série de potências ,

com intervalode convergência I. Suponha que para todo x no interior do intervalo I .Então, a tem derivada dada por

Integração termo a termo: como as hipóteses acima, tem uma primitiva

Todas com o mesmo raio de onvergência.

Construindo séries de potências de uma função dada

Existe uma maneira de obter a série de potências de uma função dada.

O método é devido a Taylor e a MacLaurin.

Dada uma função a série dada por

onde denota a n-esima derivada de f em

é chamada de série de Taylor de f em torno do ponto

Quando , a série é chamada de MacLaurin.

Vamos ilustrar a convergência da série de Taylor para a função que lhe deu origem.

Vamos ilustrar a convergência da série de Taylor de uma função limitada e definida sobre o intervalo (-1,1).
Podemos escolher o número de termos da série e ver uma animação de como os termos da série que são gradualmente adicionadas aproximam cada vez mais a função .

> restart:

> with(plots):

> af:=(t,k)->Heaviside(t-k)*(t-k)-Heaviside(t-1-k)*(t-1-k);